【電験2種過去問解説：電力・管理<H21 問1>】理論水力および水車・発電機出力

問題

水車の案内羽根開度及び効率を一定とした場合に、次の問に答えよ。

(1)　水車の出力 \(P\) [kW] は有効落差 \(H\) [m] の関数として表されるが、その関係を次に示す諸量を表す記号を用いて式で表せ。
水車効率を \(η\) [%], 水圧管の断面積を \(A\) [m²], 重力加速度を \(g\) [m/s²], 管路損失等による流速の低下を考慮した流速係数を \(k\) として 用いること。

(2)　(1) を用いて、有効落差 \(100\) [m], 最大出力 \(8000\) [kW] の水力発電所が水位変化によって有効落差が \(81\) [m] に低下したときの最大出力を求めよ。

解答のポイント

① ベルヌーイの定理

② 連続の定理

③ 理論水力及び水車・発電機出力

　理論水力　　\(P_o = 9.8QH\)　[kW]
　水車出力　　\(P_w = 9.8QHη_w\)　[kW]
　発電機出力　\(P_g = 9.8QHη_wη_g\)　[kW]

④ 運動エネルギーと位置エネルギー

運動エネルギー： \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)

位置エネルギー： \(mgH\)

エネルギー保存の法則： \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = mgH\)

　　　　　　　　　　　　 \(\displaystyle\frac{1}{2}v^2 = gH\)

　　　　　　　　　　　　 　\(v^2 = 2gH\)

　　　　　　　　　　　　 　 \(v = \sqrt{2gH}\)

水圧管路の断面積 \(A\) [m²], 流量 \(Q\) [m³/s], および流速 \(v\) [m/s] の関係式

　　\(Q = Av\)

　　　 \(= A\sqrt{2gH}\)

　　　 \(\propto \sqrt{H}\)

理論水力： \(P_o = 9.8QH\)

　　　　　　　\(= 9.8A\sqrt{2gH}H\)

　　　　　　　\(\propto H^{\frac{3}{2}}\)　(出力は有効落差の \(\displaystyle\frac{3}{2}\) 乗に比例する)

解答

(1)　水車の出力 \(P\) [kW] と有効落差 \(H\) [m] の関係

ベルヌーイの定理より、

　　\(H = \displaystyle\frac{{v_0}^2}{2g}\)

　　\({v_0}^2 = 2gH\)

　　\(v_0 = \sqrt{2gH}\)

流速係数 \(k\) を考慮すると、水車入口の流速 \(v\) [m/s] は、

　　\(v = k\sqrt{2gH}\)

水車に流入する水の流量 \(Q\) [m³/s] は、

　　\(Q = Av\)
　　　 \(= kA\sqrt{2gH}\)

となるので、水車の出力 \(P\) [kW] は、

　　\(P = gQH\cdot\displaystyle\frac{η}{100}\)

　　　 \(= gkA\sqrt{2gH}\cdot H\cdot \displaystyle\frac{η}{100}\)

　　　 \(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}kAη{(gH)}^{\frac{3}{2}}}{100}\)

(2)　有効落差 \(81\) [m] のときの最大出力

(1)より、 \(P\propto H^{\frac{3}{2}}\) であるから、

　　\(\displaystyle\frac{P_2}{P_1} = \displaystyle\frac{{H_2}^{\frac{3}{2}}}{{H_1}^{\frac{3}{2}}}\)

　　\(P_2 = \displaystyle\left({\frac{H_2}{H_1}}\right)^{\frac{3}{2}}P_1\)

　　　　\(= \displaystyle\left({\frac{81}{100}}\right)^{\frac{3}{2}} × 8000\)

　　　　\(= 0.81^{\frac{3}{2}} × 8000\)

　　　　\(= 0.81 × \sqrt{0.81} × 8000\)

　　　　\(= 5832\)　→　\(5830\) [kW]

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