【電験2種過去問解説：機械・制御<H13 問1>】誘導電動機の損失・電力計算

問題

三相誘導電動機があり、星形一次換算１相分のL形等価回路の諸量は次のとおりである。

一次抵抗 \(r_1\)	\(0.1\) [Ω]
一次漏れリアクタンス \(x_1\)	\(0.5\) [Ω]
二次抵抗 (一次換算値) \(r_2’\)	\(0.19\) [Ω]
二次漏れリアクタンス (一次換算値) \(x_2’\)	\(0.5\) [Ω]
励磁コンダクタンス \(g_0\)	\(0.02\) [S]
励磁サセプタンス \(b_0\)	\(0.1\) [S]

この電動機が電源電圧 (線間) \(220\) [V], 電源周波数 \(60\) [Hz], すべり \(4\) [%] で運転されているとき、次の値を求めよ。ただし、漂遊負荷損は無視するものとする。

(1)　一次負荷電流 \(I_1’\) [A]　(ここでは一次側に換算した二次電流 \(I_2’\) [A] として扱う)

(2)　鉄損 \(P_i\) [W]

(3)　一次銅損 \(P_{c1}\) [W]

(4)　二次入力 \(P_2\) [kW]

(5)　二次銅損 \(P_{c2}\) [W]

(6)　出力 \(P_o\) [kW]　(ここでは機械的出力 \(P_m\) [kW] として扱う)

(7)　電動機の効率 \(η\) [%]

解答のポイント

① 同期速度 \(N_s\)

　　\(N_s = \displaystyle\frac{120f}{p}\) [min^-1]　(覚える公式)

② 滑り \(s\)

③ 誘導電動機の等価回路

一次側に換算した二次電流の大きさは、

　　\(\dot{I_2}’ = \displaystyle\frac{\dot{V_1}}{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right) + j(x_1 + x_2′)}\)

　　\(I_2′ = \displaystyle\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}}\)

※一相分の等価回路に当てはめるときは \(V_1\) は相電圧となるため、電源電圧 (線間電圧) の \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\) 倍となることに注意。

④ 機械的出力と損失

　　\(I_2′ = \displaystyle\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}}\)

鉄損　　　\(P_i = \color{red}{3}\color{blue}{{V_1}^2g_0}\)

一次銅損　\(P_{c1} = \color{red}{3}\color{blue}{r_1{I’_2}^2}\)　

二次銅損　\(P_{c2} = \color{red}{3}\color{blue}{{r_2}'{I’_2}^2}\)

出力　　　\(P_m = \color{red}{3}\color{blue}{\displaystyle\frac{1−s}{s}{r_2}'{I’_2}^2}\)

二次入力　\(P_2 = P_m + P_{c2}\)

　　　　　　　\(= \color{red}{3}\color{blue}{\displaystyle\frac{{r_2}’}{s}{I’_2}^2}\)

　　\(P_2 : P_{c2} : P_m = 1 : s : (1−s)\)

※等価回路図は一相分の図なので、誘導電動機全体の損失と出力を計算するときは３倍となることに注意。

⑤ 誘導電動機の効率

上のエネルギーフロー図より効率 \(η\) は、

　　\(η = \displaystyle\frac{P_m}{P_1} × 100\)

　　　\(= \color{blue}{\displaystyle\frac{P_m}{P_i + P_{c1} + P_{c2} + P_m} × 100}\)

解答

(1)　一次側に換算した二次電流 \(I_2’\) [A]

上の図の青矢印にキルヒホッフの法則を適用すると、

　　\(\dot{V_1} = \left(r_1 + \displaystyle\frac{{r_2}’}{s}\right)\dot{I_2}’ +j(x_1 + {x_2}’)\dot{I_2}’\)

　　\(\dot{I_2}’ = \displaystyle\frac{\dot{V_1}}{\left(r_1 + \displaystyle\frac{{r_2}’}{s}\right) + j(x_1 + {x_2}’)}\)

　　\({I_2}’ = \displaystyle\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1 + \displaystyle\frac{{r_2}’}{s}\right)^2 +(x_1 + {x_2}’)^2}}\)

　　　 \(= \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{220}{\sqrt3}}{\sqrt{\left(0.1 + \displaystyle\frac{0.19}{0.04}\right)^2 +(0.5 + 0.5)^2}}\)

　　　 \(\unicode{x2252} \displaystyle\frac{220}{\sqrt3\sqrt{23.523 + 1}}\)

　　　 \(\unicode{x2252} \displaystyle\frac{220}{8.5772}\)

　　　 \(\unicode{x2252}　25.649\)　→ \(25.6\) [A]

(2)　鉄損 \(P_i\) [W]

鉄損 \(P_i\) は励磁コンダクタンス \(g_0\) での消費電力なので、

　　\(P_i = 3{V_1}^2g_0\)

　　　 \(= 3 × \left(\displaystyle\frac{220}{\sqrt3}\right)^2 × 0.02\)

　　　 \(= 3 × \displaystyle\frac{48400}{3} × 0.02\)

　　　 \(= 968\) [W]

(3)　一次銅損 \(P_{c1}\) [W]

一次銅損 \(P_{c1}\) は一次抵抗 \(r_1\) での消費電力なので、

　　\(P_{c1} = 3r_1{I’_2}^2\)

　 　　　\(= 3 × 0.1 × 25.649^2\)

　　　 　\(\unicode{x2252}\) \(197.36\)　→　\(197\) [W]

(4)　二次入力 \(P_2\) [kW]

二次入力 \(P_2\) は \(\displaystyle\frac{{r_2}’}{s}\) での消費電力なので、

　　\(P_2 = 3\displaystyle\frac{{r_2}’}{s}{I’_2}^2\)

　　　　 \(= 3 × \displaystyle\frac{0.19}{0.04} × 25.649^2\)

　　　 　\(\unicode{x2252}\) \(9374.66\) [W]　→　\(9.37\) [kW]

(5)　二次銅損 \(P_{c2}\) [W]

二次銅損 \(P_{c2}\) は二次抵抗 \({r_2}’\) での消費電力なので、

　　\(P_{c2} = 3{r_2}'{I’_2}^2\)

　 　　　\(= 3 × 0.19 × 25.649^2\)

　　　 　\(\unicode{x2252}\) \(374.99\)　→　\(375\) [W]

(6)　出力 \(P_m\) [kW]

出力 \(P_m\) は \(\displaystyle\frac{1−s}{s}{r_2}’\) での消費電力なので、

　　\(P_m = 3\displaystyle\frac{1−s}{s}{r_2}'{I’_2}^2\)

　 　　　\(= 3 × \displaystyle\frac{1−0.04}{0.04} × 0.19 × 25.649^2\)

　　　 　\(\unicode{x2252}\) \(899.7\) [W]　→　\(9.00\) [kW]

(7)　電動機の効率 \(η\) [%]

電動機の効率 \(η\) [%] は、

　　　\(η = \displaystyle\frac{P_m}{P_i + P_{c1} + P_{c2} + P_m} × 100\)

　　　　 \(= \displaystyle\frac{8999.7}{968 + 197.36 + 374.99 + 8999.7} × 100\)

　　　 　\(\unicode{x2252}\) \(85.386\)　→　\(85.4\) [%]

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