【電験2種過去問解説：機械・制御<H28 問1>】三相誘導電動機のL形等価回路に関する計算問題

問題

定格線間電圧 \(200\) V、定格周波数 \(50\) Hz、\(4\) 極の星形結線の三相かご形誘導電動機があり、L形等価回路において一相一次換算の抵抗値及びリアクタンス値は次のとおりである。

　一次抵抗 \(r_1 = 0.707\) Ω,　リアクタンス \(x_1 + x_2′ = 0.439\) Ω
　二次抵抗 \(r_2′ = 0.710\) Ω

この電動機が回転速度 \(1470\) min^-1で運転しているとき、次の値を求めよ。ただし、鉄損、機械損、励磁電流は無視する。

(1)　一次電流

(2)　二次入力

(3)　電動機の軸出力

(4)　二次銅損

(5)　電動機の効率

解答のポイント

① 同期速度 \(N_s\)

　　\(N_s = \displaystyle\frac{120f}{p}\) [min^-1]　(覚える公式)

② 滑り \(s\)

③ 誘導電動機の等価回路

一次側に換算した二次電流の大きさは、

　　\(\dot{I_2}’ = \displaystyle\frac{\dot{V_1}}{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right) + j(x_1 + x_2′)}\)

　　\(I_2′ = \displaystyle\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}}\)

※一相分の等価回路に当てはめるときは \(V_1\) は相電圧となるため、電源電圧 (線間電圧) の \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\) 倍となることに注意。

④ 機械的出力と損失

　　\(I_2′ = \displaystyle\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}}\)

鉄損　　　\(P_i = \color{red}{3}\color{blue}{{V_1}^2g_0}\)

一次銅損　\(P_{c1} = \color{red}{3}\color{blue}{r_1{I’_2}^2}\)　

二次銅損　\(P_{c2} = \color{red}{3}\color{blue}{{r_2}'{I’_2}^2}\)

出力　　　\(P_m = \color{red}{3}\color{blue}{\displaystyle\frac{1−s}{s}{r_2}'{I’_2}^2}\)

二次入力　\(P_2 = P_m + P_{c2}\)

　　　　　　　\(= \color{red}{3}\color{blue}{\displaystyle\frac{{r_2}’}{s}{I’_2}^2}\)

　　\(P_2 : P_{c2} : P_m = 1 : s : (1−s)\)

※等価回路図は一相分の図なので、誘導電動機全体の損失と出力を計算するときは３倍となることに注意。

⑤ 誘導電動機の効率

上のエネルギーフロー図より効率 \(η\) は、

　　\(η = \displaystyle\frac{P_m}{P_1} × 100\)

　　　\(= \color{blue}{\displaystyle\frac{P_m}{P_i + P_{c1} + P_{c2} + P_m} × 100}\)

解答

(1)　一次電流

電動機の同期速度 \(N_s\) [min^-1] は、

　　\(N_s = \displaystyle\frac{120f}{p}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{120 × 50}{4}\)

　　　　\(= 1500\) [min^-1]

電動機の滑り \(s\) は、

　　\(s = \displaystyle\frac{N_s − N}{N_s}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{1500 − 1470}{1500}\)

　　　　\(= 0.02\)

上の図の青矢印にキルヒホッフの法則を適用すると、一次電流 \(I_1\) [A] は、

　　\(I_1 = \displaystyle\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1 + \displaystyle\frac{{r_2}’}{s}\right)^2 +(x_1 + {x_2}’)^2}}\)

　　　 \(= \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{200}{\sqrt3}}{\sqrt{\left(0.707 + \displaystyle\frac{0.710}{0.02}\right)^2 + 0.439^2}}\)

　　　 \(\unicode{x2252}\) \(\displaystyle\frac{115.47}{36.210}\)

　　　 \(\unicode{x2252}\) \(3.1889\)　→ \(3.19\) [A]

(2)　二次入力

二次入力 \(P_2\) [kW] は、

　　\(P_2 = 3\displaystyle\frac{{r_2}’}{s}{I_1}^2\)

　　　　 \(= 3 × \displaystyle\frac{0.710}{0.02} × 3.1889^2\)

　　　 　\(\unicode{x2252}\) \(1083.0\) [W]　→　\(1.08\) [kW]

(3)　電動機の軸出力

電動機の軸出力 \(P_m\) [kW] は、

　　\(P_m = (1−s)P_2\)

　 　　　\(= (1−0.02) × 1.0830\)

　　　 　\(\unicode{x2252}\) \(1.0613\) [W]　→　\(1.06\) [kW]

(4)　二次銅損

二次銅損 \(P_{c2}\) [W] は、

　　\(P_{c2} = sP_2\)

　 　　　\(= 0.02 × 1083.0\)

　 　　　\(= 21.66\)　→　\(21.7\) [W]

(5)　電動機の効率

電動機の一次銅損 \(P_{c1}\) [W] は、

　　\(P_{c1} = 3r_1{I_1}^2\)

　 　　　\(= 3 × 0.707 × 3.1889^2\)

　　　 　\(\unicode{x2252}\) \(21.568\) [W]

電動機の効率 \(η\) [%] は、

　　　\(η = \displaystyle\frac{P_m}{P_m + P_{c1} + P_{c2}} × 100\)

　　　　 \(= \displaystyle\frac{1061.3}{1061.3 + 21.568 + 21.66} × 100\)

　　　 　\(\unicode{x2252}\) \(96.1\) [%]

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