【電験2種過去問解説：電力・管理<H9 問4改>】比速度を利用した水車の定格回転速度の選定

問題
解答のポイント
解答

問題

有効落差 \(H = 180\) [m], 使用水量 \(Q = 20\) [m³/s] のフランシス水車１台を設置する場合の出力 \(P_G\) [kw] および極数を可能な限り少なくしたときの定格回転速度 \(n_n\) [min^-1] を求めよ。

ただし、水車の効率を \(n_W = 90\) [%], 発電機の効率を \(n_G = 98\) [%], 同期している系統の周波数を \(f = 60\) [Hz] とし、フランシス水車の比速度 \(n_s\) [m・kw] の上限に関する式は次の式で表されるものとする。

　　\(n_s ≦ \displaystyle\frac{33000}{H + 55} + 30\)

解答のポイント

① 理論水力及び水車・発電機出力

　理論水力　　\(P_o = 9.8QH\) [kW]
　水車出力　　\(P_w = 9.8QHη_w\) [kW]
　発電機出力　\(P_g = 9.8QHη_wη_g\) [kW]

② 水車の比速度 \(n_s\) [m・kw]
　\(1\) m の落差で \(1\) kW の出力を発生させるのに必要な回転速度

　　\(n_s = n\displaystyle\frac{P_w^{\frac{1}{2}}}{H^{\frac{5}{4}}}\) [m・kW]　(覚える公式)　

　　　　\(n\)：水車の回転速度 [min^-1]
　　　　\(P_w\)：水車の出力 [kW]　← 発電機の出力ではないことに注意
　　　　\(H\)：有効落差 [m]

③ 同期速度 \(N_s\)

　　\(N_s = \displaystyle\frac{120f}{p}\) [min^-1]　(覚える公式)

解答

(1)　発電機出力 \(P_G\) [kw]

　　\(P_G = 9.8Q_gHη_Wη_G\)
　　　　\(= 9.8 × 20 × 180 × 0.90 × 0.98\)
　　　　\(\unicode{x2252}\) \(31117\) [kW]
　　　　　→ \(31100\) [kW]

(2)　定格回転速度 \(n_n\) [min^-1]

比速度の上限 \(n_s\) は、

　　\(n_s ≦ \displaystyle\frac{33000}{H + 55} + 30\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{33000}{180 + 55} + 30\)

　　　　\(\unicode{x2252}\) \(170.43\) [m・kW]

水車の出力 \(P_W\) [kW] は、

　　\(P_W = 9.8Q_gHη_W\)
　　　　\(= 9.8 × 20 × 180 × 0.90\)
　　　　\(= 31752\) [kW]

回転速度の上限 \(n\) は、

　　\(n_s = n\displaystyle\frac{P_w^{\frac{1}{2}}}{H^{\frac{5}{4}}}\)

　　\(n = n_s\displaystyle\frac{H^{\frac{5}{4}}}{P_W^{\frac{1}{2}}} = n_s\displaystyle\frac{\sqrt{\sqrt{H^5}}}{\sqrt{P_W}}\)

　　　\(= 170.43×\displaystyle\frac{\left(\sqrt{\sqrt{180}}\right)^5}{\sqrt{31752}}\)

　　　\(\unicode{x2252}\) \(630.60\) [min^-1]

したがって、回転速度上限の時の極数 \(p\) は、

　　\(n = \displaystyle\frac{120f}{p}\)

　　\(p = \displaystyle\frac{120f}{n}\)

　　　\(= \displaystyle\frac{120 × 60}{630.60}\)

　　　\(\unicode{x2252}\) \(11.418\)　→ \(12\) (※)

※以下理由により磁極数は \(12\) 極を採用する。
・磁極数はNS一対であるので偶数でなければならない。
・比速度の限界式で求めた極数 \(11.418\) から、磁極数は \(10\) 極と \(12\) 極が候補となるが、比速度の限界から求めた磁極数より小さいと水車が過大速度となってしまうため適切ではない。このため \(10\) 極は不適切で、経済性も考慮して \(12\) 極を選定する。

以上から定格回転速度 \(n_n\) [min^-1] は、

　　\(n_n = \displaystyle\frac{120f}{p}\)

　　　\(= \displaystyle\frac{120 × 60}{12}\)

　　　\(= 600\) [min^-1]