【電験2種過去問解説：機械・制御<H9 問1改>】誘導電動機のトルク計算

問題
解答のポイント
解答

問題

定格電圧 \(200\) V, 定格周波数 \(50\) Hz, \(4\) 極の三相かご形誘導電動機があり、L形等価回路において星形一相一次換算の抵抗値及びリアクタンス値は次のとおりである。

一次抵抗 \(r_1\)	\(0.0707\) Ω
一次漏れリアクタンス \(x_1\)	\(0.172\) Ω
二次抵抗 (一次換算値) \({r_2}’\)	\(0.0710\) Ω
二次漏れリアクタンス (一次換算値) \({x_2}’\)	\(0.172\) Ω
励磁電流は無視できるとする

この電動機が回転速度 \(1455\) min^-1 で運転しているとき、次の値を求めよ。

(1)　同期速度 \(N_s\) [min^-1]

(2)　滑り \(s\) [%]

(3)　一次電流 \(I_1\) [A]

(4)　二次銅損 \(P_{c2}\) [W]

(5)　同期ワット \(P_2\) [kW]

(6)　出力 \(P_m\) [kW]

(7)　トルク \(T\) [N・m]

解答のポイント

① 同期速度 \(N_s\)

　　\(N_s = \displaystyle\frac{120f}{p}\) [min^-1]　(覚える公式)

② 滑り \(s\)

左図において、

　　\(s = \displaystyle\frac{N_s − N}{N_s}\)　(定義)

変形すると、

　　\(sN_s = N_s − N\)

　　　\(N = N_s − sN_s\)

　　　\(N = (1 − s)N_s\)　(重要公式)

③ 誘導電動機の等価回路

一次側に換算した二次電流の大きさは、

　　\(\dot{I_2}’ = \displaystyle\frac{\dot{V_1}}{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right) + j(x_1 + x_2′)}\)

　　\(I_2′ = \displaystyle\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}}\)

※一相分の等価回路に当てはめるときは \(V_1\) は相電圧となるため、電源電圧 (線間電圧) の \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\) 倍となることに注意。

④ 機械的出力と損失

　　\(I_2′ = \displaystyle\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}}\)

鉄損　　　\(P_i = \color{red}{3}\color{blue}{{V_1}^2g_0}\)

一次銅損　\(P_{c1} = \color{red}{3}\color{blue}{r_1{I’_2}^2}\)　

二次銅損　\(P_{c2} = \color{red}{3}\color{blue}{{r_2}'{I’_2}^2}\)

出力　　　\(P_m = \color{red}{3}\color{blue}{\displaystyle\frac{1−s}{s}{r_2}'{I’_2}^2}\)

二次入力　\(P_2 = P_m + P_{c2}\)

　　　　　　　\(= \color{red}{3}\color{blue}{\displaystyle\frac{{r_2}’}{s}{I’_2}^2}\)

　　\(P_2 : P_{c2} : P_m = 1 : s : (1−s)\)

※等価回路図は一相分の図なので、誘導電動機全体の損失と出力を計算するときは３倍となることに注意。

④ 同期ワットとトルク

機械的出力 \(P_m\) [W] とトルク \(T\) [N・m] の関係

　　\(P_m = ωT = \displaystyle\frac{2πN}{60}T\)　(直流機の場合と同じ関係式)　…①

　　　　\(ω\) [rad/s]：各周波数
　　　　\(N\) [min^-1]：回転速度

二次入力 \(P_2\) [W], 同期角速度 \(ω_s\) [rad/s], 同期速度 \(N_s\) [min^-1] とすると、

　　\(P_2(1 − s) = ω_s(1 − s)T = \displaystyle\frac{2πN_s(1 − s)}{60}T\)

　　　　　　\(P_2 = ω_sT = \displaystyle\frac{2πN_s}{60}T\)　…②

同期ワット (同期速度での出力) は二次入力にに等しい (※)

※試験では②の式をを当たり前に使用すると減点対象となる可能性があるため、①式から②式を導いた上で使うのが望ましいです。

解答

(1)　同期速度 \(N_s\) [min^-1]

　　\(N_s = \displaystyle\frac{120f}{p}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{120×50}{4}\)

　　　　\(= 1500\) [min^-1]

(2)　滑り \(s\) [%]

滑り \(s\) の定義式より、

　　\(s = \displaystyle\frac{N_s − N}{N_s}\)

　　　\(= \displaystyle\frac{1500 − 1455}{1500}\)

　　　\(= 0.03\)　→ \(3\) [%]

(3)　一次電流 \(I_1\) [A]

上の図の青矢印にキルヒホッフの法則を適用すると、

　　\(\dot{V_1} = \left(r_1 + \displaystyle\frac{{r_2}’}{s}\right)\dot{I_1} +j(x_1 + {x_2}’)\dot{I_1}\)

　　\(\dot{I_1} = \displaystyle\frac{\dot{V_1}}{\left(r_1 + \displaystyle\frac{{r_2}’}{s}\right) + j(x_1 + {x_2}’)}\)

　　\({I_1} = \displaystyle\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1 + \displaystyle\frac{{r_2}’}{s}\right)^2 +(x_1 + {x_2}’)^2}}\)

　　　 \(= \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{200}{\sqrt3}}{\sqrt{\left(0.0707 + \displaystyle\frac{0.0710}{0.03}\right)^2 +(0.172 + 0.267)^2}}\)

　　　 \(\unicode{x2252}\) \(\displaystyle\frac{200}{\sqrt3\sqrt{5.9408 + 0.19272}}\)

　　　 \(\unicode{x2252}\) \(\displaystyle\frac{200}{4.2896}\)

　　　 \(\unicode{x2252}\) \(46.624\)　→ \(46.6\) [A]

(4)　二次銅損 \(P_{c2}\) [W]

二次銅損 \(P_{c2}\) は二次抵抗 \({r_2}’\) での消費電力なので、

　　\(P_{c2} = 3{r_2}'{I’_2}^2\)
　　　　\(= 3 × 0.0710 × 46.624^2\)
　　　　\(\unicode{x2252}\) \(463.02\)　→　\(463\) [W]

(5)　同期ワット \(P_2\) [kW]

同期ワット \(P_2\) [kW] は二次入力と等しいので、

　　\(P_2 = 3\displaystyle\frac{{r_2}’}{s}{I’_2}^2\)

　　　　 \(= 3 × \displaystyle\frac{0.0710}{0.03} × 46.624^2\)

　　　　\(\unicode{x2252}\) \(15434\) [W]　→　\(15.4\) [kW]

(6)　出力 \(P_m\) [kW]

出力 \(P_m\) [kW] は二次入力 \(P_2\) [kW] と二次銅損 \(P_{c2}\) [W] の差なので、

　　\(P_m = P_2 − P_{c2}\)
　　　　\(=15434 − 463.02\)
　　　　\(\unicode{x2252}\) \(14971\) [W]　→　\(15.0\) [kW]

(7)　トルク \(T\) [N・m]

　　\(T = \displaystyle\frac{P_m}{ω} = \displaystyle\frac{P_2}{ω_s} = \displaystyle\frac{P_2}{\displaystyle\frac{2πN_s}{60}} = \displaystyle\frac{60P_2}{2πN_s}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{60 × 15434}{2 × 3.1416 × 1500}\)

　　　　\(\unicode{x2252}\) \(98.256\)　→　\(98.3\) [N・m]