【電験1種過去問解説：機械・制御<H25 問1改>】誘導電動機の始動トルクの最大値計算

問題
解答のポイント
解答

問題

図は、三相誘導電動機の星形換算二次一相分の等価回路を示す。図中の記号は以下の通りである。

　　\(E_2\)：二次誘導起電力 [V], \(I_2\)：二次電流 [A], \(s\)：滑り
　　\(r_2\)：二次抵抗 [Ω], \(x_2\)：一次周波数における二次リアクタンス [Ω]

同期角速度を \(ω_0\) [rad/s] として、次の問に答えよ。

(1)　\(E_2\), \(r_2\), \(x_2\) および \(ω_0\) を用いて始動トルク \(T_s\) [N・m] を表す式を求めよ。

(2)　\(T_s\) が最大となる \(r_2\) を求めよ。また、そのときのトルク \(T_{sm}\) [N・m] を求めよ。

解答のポイント

① 誘導電動機の等価回路

一次側に換算した二次電流の大きさは、

　　\(\dot{I_2}’ = \displaystyle\frac{\dot{V_1}}{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right) + j(x_1 + x_2′)}\)

　　\(I_2′ = \displaystyle\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}}\)

※一相分の等価回路に当てはめるときは \(V_1\) は相電圧となるため、電源電圧 (線間電圧) の \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\) 倍となることに注意。

② 機械的出力と損失

　　\(I_2′ = \displaystyle\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}}\)

鉄損　　　\(P_i = \color{red}{3}\color{blue}{{V_1}^2g_0}\)

一次銅損　\(P_{c1} = \color{red}{3}\color{blue}{r_1{I’_2}^2}\)　

二次銅損　\(P_{c2} = \color{red}{3}\color{blue}{{r_2}'{I’_2}^2}\)

出力　　　\(P_m = \color{red}{3}\color{blue}{\displaystyle\frac{1−s}{s}{r_2}'{I’_2}^2}\)

二次入力　\(P_2 = P_m + P_{c2}\)

　　　　　　　\(= \color{red}{3}\color{blue}{\displaystyle\frac{{r_2}’}{s}{I’_2}^2}\)

　　\(P_2 : P_{c2} : P_m = 1 : s : (1−s)\)

※等価回路図は一相分の図なので、誘導電動機全体の損失と出力を計算

③ 同期ワットとトルク

機械的出力 \(P_m\) [W] とトルク \(T\) [N・m] の関係

　　\(P_m = ωT = \displaystyle\frac{2πN}{60}T\)　(直流機の場合と同じ関係式)　…①

　　　　\(ω\) [rad/s]：各周波数
　　　　\(N\) [min^-1]：回転速度

二次入力 \(P_2\) [W], 同期角速度 \(ω_s\) [rad/s], 同期速度 \(N_s\) [min^-1] とすると、

　　\(P_2(1 − s) = ω_s(1 − s)T = \displaystyle\frac{2πN_s(1 − s)}{60}T\)

　　　　　　\(P_2 = ω_sT = \displaystyle\frac{2πN_s}{60}T\)　…②

同期ワット (同期速度での出力) は二次入力にに等しい (※)

※試験では②の式をを当たり前に使用すると減点対象となる可能性があるため、①式から②式を導いた上で使うのが望ましいです。

解答

(1)　始動トルク \(T_s\) [N・m]

二次電流の大きさ \(I_2\) [A] は、

　　\(I_2 = \displaystyle\frac{E_2}{\sqrt{\left( \displaystyle\frac{r_2}{s}\right)^2 + {x_2}^2}}\)

であるから、二次入力 \(P_2\) [W] は、

　　\(P_2 = 3\left(\displaystyle\frac{r_2}{s}\right){I_2}^2\)

　　\(= \displaystyle\frac{3\left(\displaystyle\frac{r_2}{s}\right){E_2}^2}{\left( \displaystyle\frac{r_2}{s}\right)^2 + {x_2}^2}\)

トルク \(T\) [N・m] は、

　　\(T = \displaystyle\frac{P}{ω} = \displaystyle\frac{P_2}{ω_0}\)

であるから、

　　\(T = \displaystyle\frac{1}{ω_0}\cdot\displaystyle\frac{3\left(\displaystyle\frac{r_2}{s}\right){E_2}^2}{\left( \displaystyle\frac{r_2}{s}\right)^2 + {x_2}^2}\)

したがって、始動トルク \(T_s\) [N・m] は、\(s = 1\) を代入すると、

　　\(T_s = \displaystyle\frac{1}{ω_0}\cdot\displaystyle\frac{3\left(\displaystyle\frac{r_2}{1}\right){E_2}^2}{\left( \displaystyle\frac{r_2}{1}\right)^2 + {x_2}^2}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{1}{ω_0}\cdot\displaystyle\frac{3r_2{E_2}^2}{{r_2}^2 + {x_2}^2}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{3r_2{E_2}^2}{ω_0({r_2}^2 + {x_2}^2)}\)

(2)　\(T_s\) が最大となる \(r_2\), トルク \(T_{sm}\)