【電験二種過去問解説：機械・制御<H20 問1>巻線形誘導電動機のトルクの比例推移

問題
解答のポイント
解答のポイント

問題

　定格出力 \(100\) [kW]、極数 \(4\)、二次巻線抵抗値 \(r_2 = 0.12\) [Ω] の三相巻線形誘導電動機がある。端子電圧 \(400\) [V]、周波数 \(50\) [Hz] で全負荷運転したとき、回転速度は \(1470\) [min^-1] であった。この誘導機の二次側に抵抗 \(R\) を挿入して運転したところ、回転速度は \(1380\) [min^-1] となり、入力電流が全負荷電流と等しくなった。このとき、次の値を求めよ。
　ただし、\(r_2\) および \(R\) の値はL形等価回路における星形一相一次側に換算した値である。

(1)　抵抗挿入後のすべり [%]

(2)　挿入した抵抗 \(R\) [Ω]

(3)　機械的出力 [kW]

(4)　発生トルク [N・m]

解答のポイント

同期速度 \(N_s\)

　　\(N_s = \displaystyle\frac{120f}{p}\) [min^-1]　(覚える公式)

滑り \(s\)

左図において、

　　\(s = \displaystyle\frac{N_s − N}{N_s}\)　(定義)

変形すると、

　　\(sN_s = N_s − N\)

　　　\(N = N_s − sN_s\)

　　　\(N = (1 − s)N_s\)　(重要公式)

トルクの比例推移

【巻線形誘導電動機へ外部抵抗の挿入】

巻線形誘導電動機は、スリップリングを介して外部抵抗を挿入可能

左図の等価回路においては、
\(\displaystyle\frac{r_2′}{s}\) → \(\displaystyle\frac{r_2′ + R}{s}\) となる。

【トルクの導出】

　　\(I_2′ = \displaystyle\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}}\)

\(P_2 = 3\displaystyle\frac{r_2′}{s}{I’_2}^2\)

　　\(= \displaystyle\frac{3\left(\displaystyle\frac{r_2′}{s}\right){V_1}^2}{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}\)

\(T = \displaystyle\frac{P_m}{ω} = \displaystyle\frac{P_2}{ω_s}\)

　\(= \displaystyle\frac{1}{ω_s}\cdot\displaystyle\frac{3\left(\displaystyle\frac{r_2′}{s}\right){V_1}^2}{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}\)

【滑りとトルクの比例関係】

\(s\ll1\) のとき、\( \displaystyle\frac{r_2′}{s}\) → 大

　⇒ \(r_1\)、\(x_1\)、\(x_2’\) が無視できる

\(T \simeq \displaystyle\frac{1}{ω_s}\cdot\displaystyle\frac{3\left(\displaystyle\frac{r_2′}{s}\right){V_1}^2}{\left(\displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2}\)

　\(=\displaystyle\frac{1}{ω_s}\cdot\displaystyle\frac{3{V_1}^2}{r_2′}s\)

　　⇒ \(T\) と \(s\) が比例

【トルクの比例推移】

トルク \(T\) が一定のとき、

　\(T \simeq \displaystyle\frac{1}{ω_s}\cdot\displaystyle\frac{3{V_1}^2}{r_2′}s\)

　\(r_2′ \simeq \displaystyle\frac{1}{ω_s}\cdot\displaystyle\frac{3{V_1}^2}{T}s\)

　　⇒ \(r_2’\) と \(s\) が比例

　\(\displaystyle\frac{r_2′}{s} = \displaystyle\frac{r_2′ + R}{s’}\)

　　　\(R\)：外部抵抗

解答のポイント

(1)　抵抗挿入後のすべり [%]

磁極数 \(p\)、周波数 \(f\) [Hz] での同期速度 \(N_s\) は、

　　 \(N_s = \displaystyle\frac{120f}{p} = \displaystyle\frac{120×50}{4} = 1500\) [min^-1]

全負荷時、回転速度が \(N_1 = 1470\) [min^-1] のときのすべり \(s_1\) は、

　　\(s_1 = \displaystyle\frac{N_s − N_1}{N_s} = \displaystyle\frac{1500 − 1470}{1500} = 0.02\)

電動機の二次側に抵抗 \(R\) [Ω] (一次側換算値) を挿入して運転したところ、回転速度が \(N_2 = 1380\) [min^-1] となったので、そのときのすべり \(s_2\) は、

　　\(s_2 = \displaystyle\frac{N_s − N_2}{N_s} = \displaystyle\frac{1500 − 1380}{1500} = 0.08\)　→ \(8\) [%]

(2)　挿入した抵抗 \(R\) [Ω]

二次側に抵抗 \(R\) [Ω] (一次側換算値) を挿入して運転して、回転速度が \(N_2 = 1380\) [min^-1] となったときの入力電流が全負荷電流と等しくなったとあるので、トルクの比例推移が成り立つ。二次巻線の抵抗値 (一次側換算値) が \(r_2 = 0.12\) [Ω] であるので、

　　\(\displaystyle\frac{r_2}{s_1} = \displaystyle\frac{r_2 + R}{s_2}\)

　　\(\displaystyle\frac{0.12}{0.02} = \displaystyle\frac{0.12 + R}{0.08}\)

　　　　\(R = 0.36\) [Ω]

(3)　機械的出力 [kW]

外部抵抗挿入後も入力電流が全負荷電流と等しいので、二次入力 \(P_2\) も外部抵抗の挿入前後で同じ値である。二次入力 \(P_2\) [W]、二次銅損 \(P_{c2}\) [W]、機械的出力 \(P_o\) [W] の比は次式で表される。

　　\(P_2：P_{c2}：P_o = 1：s：(1 − s)\)

外部抵抗挿入前の機械的出力を \(P_{o1}\) [W] とすると、

　　\(P_{o1} = (1 − s_1)P_2 = (1 − 0.02)P_2 = 100000\) [W]

　　\(P_2 = \displaystyle\frac{100000}{1 − 0.02} = 102040\) [W]

となる。したがって、外部抵抗挿入後の機械的出力を \(P_{o2}\) [W] とすると、

　　\(P_{o2} = (1 − s_2)P_2 = (1 − 0.08) × 102040 = 93880\) [W]　→ \(93.88\) [kW]

(4)　発生トルク [N・m]