【電験一種過去問解説：機械・制御<H17 問1改>】誘導電動機の最大トルク

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問題

図は、三相誘導電動機の星形二次一相分の等価回路を示す。図において、\(E_2\) は二次誘導起電力 [V]、\(I_2\) は二次電流 [A]、\(s\) は滑り、また、\(r_2\) は二次抵抗 [Ω]、\(x_2\) は一次周波数における二次リアクタンス [Ω] で、いずれも星形一次換算値である。この誘導電動機について、同期角速度を \(ω_0\) [rad/s] とすると、トルク \(T\) [N・m] は、

　　\(T = \displaystyle\frac{3{E_2}^2}{ω_0}\cdot\displaystyle\frac{sr_2}{{r_2}^2 + (sx_2)^2}\)

で表される。このとき、次の値を求めよ。

(1)　始動トルク \(T_{st}\) [N・m]

(2)　トルクが最大となる滑り \(s_m\)

(3)　最大トルク \(T_{max}\) [N・m]

解答のポイント

トルクの導出

　　\(I_2′ = \displaystyle\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}}\)

\(P_2 = 3\displaystyle\frac{r_2′}{s}{I’_2}^2\)

　　\(= \displaystyle\frac{3\left(\displaystyle\frac{r_2′}{s}\right){V_1}^2}{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}\)

\(T = \displaystyle\frac{P_m}{ω} = \displaystyle\frac{P_2}{ω_s}\)

　\(= \displaystyle\frac{1}{ω_s}\cdot\displaystyle\frac{3\left(\displaystyle\frac{r_2′}{s}\right){V_1}^2}{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}\)

トルクが最大になる滑り

　　\(T = \displaystyle\frac{1}{ω_s}\cdot\displaystyle\frac{3\left(\displaystyle\frac{r_2′}{s}\right){V_1}^2}{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2}\)

　　　\(= \displaystyle\frac{1}{ω_s}\cdot\displaystyle\frac{3r’_2{V_1}^2}{s\left\{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2\right\}}\)

すなわち、\(A = s\left\{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2\right\}\) が最小となれば、トルク \(T\) が最大となる。

　\(A = s\left\{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2\right\}\)

　　\(\displaystyle\frac{dA}{ds} = 1\cdot\left\{\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2\right\} + s\cdot2\left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)\cdot\left(−\displaystyle\frac{r_2′}{s^2}\right)\)

　　\(= \left(r_1 + \displaystyle\frac{r_2′}{s}\right)^2 + (x_1 + x_2′)^2 − 2\left(\displaystyle\frac{r_1r_2′}{s} + \displaystyle\frac{{r’_2}^2}{s^2}\right)\)

　　\(= {r_1}^2 + \displaystyle\frac{2r_1r_2′}{s} + \displaystyle\frac{{r’_2}^2}{s^2} + (x_1 + x_2′)^2 − \displaystyle\frac{2r_1r_2′}{s} − \displaystyle\frac{2{r’_2}^2}{s^2}\)

　　\(= {r_1}^2 − \displaystyle\frac{{r’_2}^2}{s^2} + (x_1 + x_2′)^2\)

\(\displaystyle\frac{dA}{ds} = 0\) となるとき、

　　\({r_1}^2 − \displaystyle\frac{{r’_2}^2}{s^2} + (x_1 + x_2′)^2 = 0\)

　　\(\displaystyle\frac{{r’_2}^2}{s^2} = {r_1}^2 + (x_1 + x_2′)^2\)

　　　\(s = \displaystyle\frac{r_2′}{\sqrt{{r_1}^2 + (x_1 + x_2′)^2}}\)　(\(\unicode{x2235}\) \(s ＞ 0\))

【(参考) なぜ \(\displaystyle\frac{dA}{ds} = 0\) のとき \(A\) が最小か？】

　　\(A = {r_1}^2s + 2r_1r_2′ + \displaystyle\frac{{r’_2}^2}{s} + s(x_1 + x_2′)^2\)

　\(\displaystyle\frac{dA}{ds} = {r_1}^2 − \displaystyle\frac{{r’_2}^2}{s^2} + (x_1 + x_2′)^2\)

　\(\displaystyle\frac{d^2A}{ds^2} = 2\displaystyle\frac{{r’_2}^2}{s^3}\)　⇒　常に正の値　⇒　\(\displaystyle\frac{dA}{ds}\) が徐々に増えていく　

解答

(1)　始動トルク \(T_{st}\) [N・m]

始動時 \(s = 1\) であるから、

　　\(T_{st} = \color{blue}{\displaystyle\frac{3{E_2}^2}{ω_0}\cdot\displaystyle\frac{r_2}{{r_2}^2 + {x_2}^2}}\)

(2)　トルクが最大となる滑り \(s_m\)

トルク \(T\) の式を変形すると、

　　\(T = \displaystyle\frac{3{E_2}^2}{ω_0}\cdot\displaystyle\frac{r_2}{\displaystyle\frac{{r_2}^2}{s} + {x_2}^2s}\)

となるので、トルク \(T\) が最大となるためには、\(\displaystyle\frac{{r_2}^2}{s} + {x_2}^2s\) が最小となればよい。

したがって、\(A = \displaystyle\frac{{r_2}^2}{s} + {x_2}^2s\) とすると、

　　\(A = \displaystyle\frac{{r_2}^2}{s} + {x_2}^2s\)

　　\(\displaystyle\frac{dA}{ds} = −\displaystyle\frac{{r_2}^2}{s^2} + {x_2}^2\)

となるので、\(\displaystyle\frac{dA}{ds} = 0\) のとき、トルクが最大となるから、

　　\(\displaystyle\frac{dA}{ds} = −\displaystyle\frac{{r_2}^2}{{s_m}^2} + {x_2}^2 = 0\)

　　　\({x_2}^2 = \displaystyle\frac{{r_2}^2}{{s_m}^2}\)

　　　\({s_m}^2 = \displaystyle\frac{{r_2}^2}{{x_2}^2}\)

　　　　\(s_m = \color{blue}{\displaystyle\frac{r_2}{x_2}}\)　(\(\unicode{x2235}\) \(s ＞ 0\))

(3)　最大トルク \(T_{max}\) [N・m]

　\(T_{max} = \displaystyle\frac{3{E_2}^2}{ω_0}\cdot\displaystyle\frac{s_mr_2}{{r_2}^2 + (s_mx_2)^2}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{3{E_2}^2}{ω_0}\cdot\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{r_2}{x_2}r_2}{{r_2}^2 + \left(\displaystyle\frac{r_2}{x_2}x_2\right)^2}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{3{E_2}^2}{ω_0}\cdot\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{{r_2}^2}{x_2}}{{r_2}^2 + {r_2}^2}\)

　　　　\(= \color{blue}{\displaystyle\frac{3{E_2}^2}{2ω_0x_2}}\)