問題
A変電所からB変電所に電力を送る送電線において、A変電所の送電端電圧 \(V_s\) を \(67\) kV に維持した運用をしている。
負荷が \(30000\) kW (遅れ力率) であるB変電所において、電力用コンデンサを投入して受電端の電圧 \(V_r\) を \(65\) kV から \(66\) kV に改善したい。必要なコンデンサ容量を求めよ。ただし、送電線のこう長が非常に短く、送電線のインピーダンス \(\dot{Z}\) は (\(2 + j6\)) [Ω] とする。
解答のポイント
複素電力の計算
進み無効電力を正とする場合
\(\dot{S} = \overline{\dot{E}}\dot{I}\)
遅れ無効電力を正とする場合
\(\dot{S} = \dot{E}\overline{\dot{I}}\) ← 電験の問題ではこちらの出題 (遅れ無効電力を正) が多い
\(S\) [V・A]：皮相電力 \(E\) [V]：電圧 \(I\) [A]：電流
共役複素数
虚数項の正負を入れ替える
\(\dot{Z} = a + jb\) のとき
\(\overline{\dot{Z}} = a − jb\)
2乗の計算 (複素電力の計算) に使用
\(S = R\left|\dot{I}\right|^2 = R\dot{I}\cdot\overline{\dot{I}}\)
\(S\) [V・A]：皮相電力
\(R\) [Ω]：抵抗
\(I\) [A]：電流
複素電力の関係式
【単相の場合】
複素電力 \(\dot{S}\) は、遅れ無効電力を正とすると、
\(\dot{S} = \dot{E}\overline{\dot{I}}\)
\(= E\left(\overline{I\cos θ − jI\sin θ}\right)\)
\(= E\left(I\cos θ + jI\sin θ\right)\)
\(= EI\cos θ + jEI\sin θ\)
\(= P + jQ\)
\(S\) [V・A]：皮相電力
\(E\) [V]：電圧
\(I\) [A]：電流
\(\cos θ\)：遅れ力率
\(P\) [W]：有効電力
\(Q\) [var]：無効電力
【三相3線式の場合】
一相分等価回路
複素電力 \(\dot{S}\) は、遅れ無効電力を正とすると、
\(\dot{S} = \color{red}{3}\dot{E}\overline{\dot{I}}\)
\(= \color{red}{3}E\left(\overline{I\cos θ − jI\sin θ}\right)\)
\(= \color{red}{3}E\left(I\cos θ + jI\sin θ\right)\)
\(= \color{red}{3}EI\cos θ + j\color{red}{3}EI\sin θ\)
\(= P + jQ\)
\(S\) [V・A]：皮相電力
\(E\) [V]：電圧
\(I\) [A]：電流
\(\cos θ\)：遅れ力率
\(P\) [W]：有効電力
\(Q\) [var]：無効電力
解答
ベクトル図より、
\(E_s \simeq E_r + rI\cos θ + xI\sin θ\)
\(E_s − E_r = rI\cos θ + xI\sin θ\)
ここで、\(P = 3E_rI\cos θ\) 及び
\(Q = 3E_rI\sin θ\) より、
\(E_s − E_r = r\cdot\displaystyle\frac{P}{3E_r} + x\cdot\displaystyle\frac{Q}{3E_r}\)
\(= \displaystyle\frac{Pr +Qx}{3E_r}\)
\(Pr + Qx = 3E_r(E_s − E_r)\)
\(Qx = 3E_r(E_s − E_r) − Pr\)
\(Q = \displaystyle\frac{3E_r(E_s − E_r) − Pr}{x}\)
\(= \displaystyle\frac{3\displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}(\displaystyle\frac{V_s}{\sqrt{3}} − \displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}) − Pr}{x}\)
\(= \displaystyle\frac{V_r(V_s − V_r) − Pr}{x}\)
コンデンサ接続前後の受電端電圧を \(V_{r1}\) 及び \(V_{r2}\) とすると、コンデンサ容量 \(Q_{c}\) は無効電力変化量に等しいから、
\(Q_c = \displaystyle\frac{V_{r1}(V_s − V_{r1}) − Pr}{x} − \displaystyle\frac{V_{r2}(V_s − V_{r2}) − Pr}{x}\)
\(= \displaystyle\frac{V_{r1}(V_s − V_{r1}) − V_{r2}(V_s − V_{r2})}{x}\)
\(= \displaystyle\frac{V_s(V_{r1} − V_{r2}) + {V_{r2}}^2 − {V_{r1}}^2}{x}\)
\(= \displaystyle\frac{V_s(V_{r1} − V_{r2}) + (V_{r2} + V_{r1})(V_{r2} − V_{r1})}{x}\)
\(= \displaystyle\frac{67×10^3×(66 − 65)×10^3 + (66 + 65)×10^3×(66 − 65)×10^3}{6}\)
\(= \displaystyle\frac{67×(66 − 65) + (66 + 65)×(66 − 65)}{6} × 10^6\)
\(\unicode{x2252}\) \(10700000\) [var] → \(10700\) [kvar]
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