問題
伝達関数 \(G_1(s)\) ，\(G_2(s)\) に対して図1のように直列結合した制御系と図2のように並列結合した制御系が与えられている。 \(U(s)\) は入力量，\(Y_1(s)\) は直列結合した場合の出力量，\(Y_2(s)\) は並列結合した場合の出力量をあらわしている。\(U(s)\) ，\(Y_1(s)\) ，\(Y_2(s)\) は時間信号 \(u(t)\) ，\(y_1(t)\) ，\(y_2(t)\) をそれぞれラプラス変換したものである。
伝達関数 \(G_1(s)\) ，\(G_2(s)\) が，
\(G_1(s)=\displaystyle\frac{3}{s+2}\) , \(G_2(s)=\displaystyle\frac{5}{s^2+5s+6}\)
のように与えられているとき，以下の問に答えよ。
(1) 図1の直列結合された制御系の \(U(s)\) から \(Y_1(s)\) の伝達関数を求めよ。なお，伝達関数は，一つの有理関数で表すとし，分母及び分子は \(s\) の多項式で示すこと。
(2) (1)で求めた直列結合された伝達関数に単位ステップ信号を加えたときの出力量 \(Y_1(s)\) の定常値を求めよ。
(3) 図2の並列結合された制御系のインパルス信号を加えたときの \(Y_2(s)\) の時間応答を求めよ。
(4) (3)で求めた並列結合された伝達関数に \(u(t)=2e^{-t}\) を加えたときの \(Y_2(s)\) の時間応答を求めよ。
(5) (3)で求めた並列結合された伝達関数の周波数応答において，周波数を十分に大きくしたときの位相を求めよ。
解答のポイント
① ブロック線図 (直列結合)
図3のような伝達関数 \(G_1(s)\) , \(G_2(s)\) が与えられているとき、全体の伝達関数 \(G(s)\) は、
\(G(s)=\displaystyle\frac{Y(s)}{X(s)}=G_1(s)G_2(s)\)
となります。
② ブロック線図 (並列結合)
図4のような伝達関数 \(G_1(s)\) , \(G_2(s)\) が与えられているとき、全体の伝達関数 \(G(s)\) は、
\(G(s)=\displaystyle\frac{Y(s)}{X(s)}=G_1(s)\pm G_2(s)\)
となります。
③ ラプラス変換表
\(f(t)\) のラプラス変換を \(F(s)\) とすると以下のような関係があります。
④ 最終値の定理
\(f(t)\) のラプラス変換を \(F(s)\) とすると、\(f(t)\) の定常値は、
\(\displaystyle \lim_{t \to \infty} f(t)=\displaystyle \lim_{s \to 0} sF(s)\)
で求められます。
【注意点】
・\(t → \infty\) に対し \(s → 0\) である
・右辺には係数 \(s\) が必要
・「定常偏差を求めよ」という出題のされ方もある
⑤ 部分分数分解
例) 伝達関数が \(\displaystyle\frac{1}{s^2(s+2)}\) で与えられるとき、
\(\displaystyle\frac{1}{s^2(s+2)}=\displaystyle\frac{A}{s^2}+\displaystyle\frac{B}{s}+\displaystyle\frac{C}{s+2}\)
または、
\(\displaystyle\frac{1}{s^2(s+2)}=\displaystyle\frac{As+B}{s^2}+\displaystyle\frac{C}{s+2}\)
とおくと、部分分数分解ができます。
⑥ ヘビサイトの展開定理
部分分数分解の際に定数を素早く求めるテクニックとして、ヘビサイトの展開定理があります。分母に \((s-p)\) という因数を含む分数を \(F(s)\) とするとき、\(F(s)\) の部分分数分解後には分母が \((s-p)\) となる分数が表れます。このとき、分数の係数 \(A_p\) は、次の式で表すことができます。
\(A_p=\displaystyle \lim_{s \to p} (s-p)F(s)\)
例) \(\displaystyle\frac{6}{s(s+2)(s+3)}=\displaystyle\frac{A}{s}+\displaystyle\frac{B}{s+2}+\displaystyle\frac{C}{s+3}\)
\(A=\displaystyle \lim_{s \to 0}\displaystyle s\cdot\frac{6}{s(s+2)(s+3)}=1\)
\(B=\displaystyle \lim_{s \to -2}\displaystyle (s+2)\cdot\frac{6}{s(s+2)(s+3)}=-3\)
\(C=\displaystyle \lim_{s \to -3}\displaystyle (s+3)\cdot\frac{6}{s(s+2)(s+3)}=2\)
【注意点】
上記のヘビサイトの展開定理の式は、分母が3項の積のときのみ適用することができます。ヘビサイトの展開定理自体は、分母に \((s+〇)^2\) の項が含まれるときや、分母の因数分解ができないときにも適用できますが、微分や複素数が絡む複雑な計算を要するため、これらの場合は係数比較による方法を用いた方が無難です。
解答
(1) 図1の \(U(s)\) から \(Y_1(s)\) の伝達関数
図1のブロック線図においては、
\(Y_1(s)=G_1(s)G_2(s)U(s)\)
の関係があるので、伝達関数 \(\displaystyle\frac{Y_1(s)}{U(s)}\) は、
\(\displaystyle\frac{Y_1(s)}{U(s)}=G_1(s)G_2(s)\)
\(=\displaystyle\frac{3}{s+2}\cdot\displaystyle\frac{5}{s^2+5s+6}\)
\(=\displaystyle\frac{15}{s^3+7s^2+16s+12}\)
と求められる。
(2) (1)の伝達関数に単位ステップ信号を加えたときの \(Y_1(s)\) の定常値
(1)より、
\(Y_1(s)=\displaystyle\frac{15}{s^3+7s^2+16s+12}U(s)\)
であり、単位ステップ信号のラプラス変換は \(\displaystyle\frac{1}{s}\) であるので、これを \(U(s)\) に代入すると、
\(Y_1(s)=\displaystyle\frac{15}{s^3+7s^2+16s+12}\cdot\displaystyle\frac{1}{s}\)
となる。したがって、\(Y_1(s)\) の定常値は、最終値の定理より、
\(\displaystyle \lim_{t \to \infty} y_1(t)=\displaystyle \lim_{s \to 0} sY_1(s)\)
\(=\displaystyle \lim_{s \to 0} (s\cdot\displaystyle\frac{15}{s^3+7s^2+16s+12}\cdot\displaystyle\frac{1}{s})\)
\(=\displaystyle \lim_{s \to 0} \frac{15}{s^3+7s^2+16s+12}\)
\(=\displaystyle\frac{15}{0+0+0+12}\)
\(=\displaystyle\frac{5}{4}\)
\(=1.25\)
と求められる。
(3) 図2の制御系にインパルス信号を加えたときの \(Y_2(s)\) の時間応答
図2のブロック線図においては、
\(Y_2(s)={G_1(s)+G_2(s)}U(s)\)
の関係があるので、伝達関数 \(\displaystyle\frac{Y_2(s)}{U(s)}\) は、
\(\displaystyle\frac{Y_2(s)}{U(s)}=G_1(s)+G_2(s)\)
\(=\displaystyle\frac{3}{s+2}+\displaystyle\frac{5}{s^2+5s+6}\)
\(=\displaystyle\frac{3}{s+2}+\displaystyle\frac{5}{(s+2)(s+3)}\)
\(=\displaystyle\frac{3(s+3)}{(s+2)(s+3)}+\displaystyle\frac{5}{(s+2)(s+3)}\)
\(=\displaystyle\frac{3s+9+5}{(s+2)(s+3)}\)
\(=\displaystyle\frac{3s+14}{(s+2)(s+3)}\) ・・・・・①
となる。この式を部分分数分解するために、\(\displaystyle\frac{Y_2(s)}{U(s)}=\displaystyle\frac{A}{s+2}+\displaystyle\frac{B}{s+3}\) とおくと、
\(\displaystyle\frac{Y_2(s)}{U(s)}=\displaystyle\frac{A}{s+2}+\displaystyle\frac{B}{s+3}\)
\(=\displaystyle\frac{A(s+3)+B(s+2)}{(s+2)(s+3)}\)
\(=\displaystyle\frac{(A+B)s+3A+2B}{(s+2)(s+3)}\)
となるため、①式と係数比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}A + B &=& 8&・・・・・①\\3A + 2B &=& 14&・・・・・②\end{array}\right.\)
となり、\(③-②\times2\) 及び \(②\times3-③\) より、
\(A=8\)
\(B=-5\)
となる。よって伝達関数は、
\(\displaystyle\frac{Y_2(s)}{U(s)}=\displaystyle\frac{8}{s+2}-\displaystyle\frac{5}{s+3}\)
\(Y_2(s)=\displaystyle\frac{8}{s+2}-\displaystyle\frac{5}{s+3}\)
となるので、逆ラプラス変換すると、
\(y_2(t)=8e^{-2t}-5e^{-3t}\)
と求められる。
(4) (3)の伝達関数に \(u(t)=2e^{-t}\) を加えたときの \(Y_2(s)\) の時間応答
\(u(t)=2e^{-t}\) のラプラス変換は \(U(s)=\displaystyle\frac{2}{s+1}\) であるので、\(Y_2(s)\) は①式を用いて、
\(Y_2(s)=\displaystyle\frac{3s+14}{(s+2)(s+3)}\cdot\displaystyle\frac{2}{s+1}\)
\(=\displaystyle\frac{6s+28}{(s+1)(s+2)(s+3)}\) ・・・・・④
となる。この式を部分分数分解するために、\(Y_2(s)=\displaystyle\frac{C}{s+1}+\displaystyle\frac{D}{s+2}+\displaystyle\frac{E}{s+3}\) とおくと、
\(Y_2(s)=\displaystyle\frac{C}{s+1}+\displaystyle\frac{D}{s+2}+\displaystyle\frac{E}{s+3}\)
\(=\displaystyle\frac{C(s+2)(s+3)+D(s+1)(s+3)+E(s+1)(s+2)}{(s+1)(s+2)(s+3)}\)
\(=\displaystyle\frac{C(s^2+5s+6)+D(s^2+4s+3)+E(s^2+3s+2)}{(s+1)(s+2)(s+3)}\)
\(=\displaystyle\frac{(C+D+E)s^2+(5C+4D+3E)s+6C+3D+2E}{(s+1)(s+2)(s+3)}\)
となるから、④式と係数比較すると、
\(\left\{\begin{array}{l}C + D + E &=& 0&・・・・・⑤\\5C + 4D + 3E &=& 6&・・・・・⑥\\6C + 3D + 2E &=& 28&・・・・・⑦\end{array}\right.\)
となり、\(⑥-⑤\times3\) 及び \(⑦-⑤\times2\) より、
\(2C+D=6\) ・・・・・⑧
\(4C+D=28\) ・・・・・⑨
となる。さらに \(⑨-⑧\) より、
\(2C=22\)
\(C=11\)
となり、これを⑧に代入すると、
\(2\times11+D=6\)
\(D=-16\)
となり、⑤式より、
\(E=-C-D\)
\(=-11+16\)
\(=5\)
となる。以上から、
\(Y_2(s)=\displaystyle\frac{11}{s+1}-\displaystyle\frac{16}{s+2}+\displaystyle\frac{5}{s+3}\)
となるので、これを逆ラプラス変換すると、
\(y_2(t)=11e^{-t}-16e^{-2t}+5e^{-3t}\)
と求められる。
【係数比較部分の別解】
ヘビサイトの展開定理を用いて、
\(C=\displaystyle \lim_{s \to -1}\displaystyle (s+1)\cdot\frac{6s+28}{(s+1)(s+2)(s+3)}\)
\(=\displaystyle \lim_{s \to -1}\displaystyle\frac{6s+28}{(s+2)(s+3)}\)
\(=11\)
\(D=\displaystyle \lim_{s \to -2}\displaystyle (s+2)\cdot\frac{6s+28}{(s+1)(s+2)(s+3)}\)
\(=\displaystyle \lim_{s \to -2}\displaystyle\frac{6s+28}{(s+1)(s+3)}\)
\(=-16\)
\(E=\displaystyle \lim_{s \to -3}\displaystyle (s+3)\cdot\frac{6s+28}{(s+1)(s+2)(s+3)}\)
\(=\displaystyle \lim_{s \to -3}\displaystyle\frac{6s+28}{(s+1)(s+2)}\)
\(=5\)
と求められ、連立方程式を解くより機械的に幾分早く計算可能です。分母が3次以上となる場合は、(係数比較では3元の連立方程式を解く必要があり煩雑となりますので) こちらのヘビサイトの展開定理を用いた方がよいと考えます。
(5) (3)の伝達関数の周波数応答において，周波数を十分に大きくしたときの位相
(3)の伝達関数 \(\displaystyle\frac{Y_2(s)}{U(s)}=W_2(s)\) とおくと、周波数伝達関数 \(W_2(jω)\) は、
\(W_2(jω)=\displaystyle\frac{8}{2+jω}-\displaystyle\frac{5}{3+jω}\)
となり、周波数が非常に大きいすなわち \(ω\) が非常に大きいとき、
\(W_2(jω)\simeq\displaystyle\frac{8}{jω}-\displaystyle\frac{5}{jω}\)
\(=-j\displaystyle\frac{8}{ω}+j\displaystyle\frac{5}{ω}\)
\(=-j\displaystyle\frac{3}{ω}\)
となるため、位相は \(-90^{\circ}\) と求められる。
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