【電験二種過去問解説：電力・管理<H16 問3>】送電線路の電気的特性

問題
解答のポイント
解答

問題

送電端および受電端の電圧がそれぞれ \(220\) kV 及び \(200\) kV である三相1回線送電線の送電端電圧と受電端電圧の位相差が \(30\)° の場合について、次の問に答えよ。ただし、1線当たりの線路リアクタンスは、\(j40\) [Ω] とし、その他のインピーダンスは無視するものとし、また、無効電力は遅相を正とする。

(1)　線路電流 [A] の大きさを求めよ。

(2)　受電端の有効電力 [MW] と無効電力 [Mvar] の大きさを求めよ。

(3)　受電端の力率 [%] を求めよ。

解答のポイント

送電線の電圧と負荷電力

　　\(\dot{E_s} = \dot{E_r} + jX\dot{I}\)

変圧器とほぼ同じベクトル図

送電線に流れる電流 \(\dot{I}\) は、

　　\(\dot{E_s} = \dot{E_r} + jX\dot{I}\)

　\(jX\dot{I} = \dot{E_s} − \dot{E_r}\)

　　　\(\dot{I} = \displaystyle\frac{\dot{E_s} − \dot{E_r}}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s(\cos δ + j\sin δ) − E_r}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r + jE_s\sin δ)}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} + \displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} − j\displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{X}\)　　… ①

負荷一相分の複素電力 \(\dot{S}_{1r}\) は、遅れ無効電力を正とすると、

　　\(\dot{S}_{1r} = \dot{E_r}\overline{\dot{I}}\)

　　　　\(= E_r × \overline{\left(\displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} − j\displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{X}\right)}\)

　　　　\(= E_r × \left(\displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} + j\displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{X}\right)\)

　　　　\(= \color{blue}{\displaystyle\frac{E_sE_r\sin δ}{X}} + j\color{red}{\displaystyle\frac{E_sE_r\cos δ − {E_r}^2}{X}}\)
　　　　　　有効電力　　　　　　無効電力

また、送電端電圧 (線間電圧) \(\dot{V_s}\) [V] 、受電端電圧 (線間電圧) \(\dot{V_r}\) [V] とすると、①において、\(E_s = \dot{V_s}\) [V] 、\(E_r = \dot{V_r}\) [V] であるから、

線電流 \(\dot{I}\) [A] は、

　　\(\dot{I} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V_s}{\sqrt{3}}\sin δ}{X} − j\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V_s}{\sqrt{3}}\cos δ − \displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}}{X}\)

　　　\(= \displaystyle\frac{V_s\sin δ}{\sqrt{3}X} − j\displaystyle\frac{V_s\cos δ − V_r}{\sqrt{3}X}\)

よって、負荷三相分の複素電力 \(\dot{S}\) [V・A] は、

　　\(\dot{S} = \sqrt{3}\dot{V_r}\overline{\dot{I}}\)

　　　\(= \sqrt{3}V_r\left(\displaystyle\frac{V_s\sin δ}{\sqrt{3}X} − j\displaystyle\frac{V_s\cos δ + V_r}{\sqrt{3}X}\right)\)

　　　\(= \color{blue}{\displaystyle\frac{V_sV_r\sin δ}{X}} + j\color{red}{\displaystyle\frac{V_sV_r\cos δ − {V_r}^2}{X}}\)

となるので、有効電力 \(P\) [W] 及び無効電力 \(Q\) [var] の大きさは、

　　\(P = \displaystyle\frac{V_sV_r\sin δ}{X}\)

　　\(Q = \displaystyle\frac{V_sV_r\cos δ − {V_r}^2}{X}\)

解答

(1)　線路電流 [A] の大きさ

送電線に流れる電流 \(\dot{I}\) は、

　　　\(\dot{I} = \displaystyle\frac{\dot{E_s} − \dot{E_r}}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s(\cos δ + j\sin δ) − E_r}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r + jE_s\sin δ}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} + \displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} − j\displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{X}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V_s}{\sqrt{3}}\sin δ}{X} − j\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V_s}{\sqrt{3}}\cos δ − \displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}}{X}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{V_s\sin δ}{\sqrt{3}X} − j\displaystyle\frac{V_s\cos δ − V_r}{\sqrt{3}X}\)

各値を代入すると、

　　\(\dot{I} = \displaystyle\frac{V_s\sin δ}{\sqrt{3}X} − j\displaystyle\frac{V_s\cos δ − V_r}{\sqrt{3}X}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{220 × 10^3 × \sin 30°}{\sqrt{3} × 40} − j\displaystyle\frac{220 × 10^3 × \cos 30° − 200 × 10^3}{\sqrt{3} × 40}\)

　　　　\(\unicode{x2252}\) \(1587.7 + j136.75\) [A]