【電験二種重要例題解説：電力・管理】送電線に抵抗成分がある場合の電力円線図

問題
解答のポイント
解答

問題

三相3線式送電線路において、送電端電圧 (線間電圧) が \(\dot{V_s}\) [V]、受電端電圧 (線間電圧) が \(\dot{V_r}\) [V]、線電流が \(\dot{I}\) [A]、線路インピーダンスが \(\dot{Z} = R +jX\) [Ω]、相差角が \(δ\) であるとき、次の問に答えよ。

(1)　複素電力 \(\dot{S}\) [V・A] の大きさを \(V_s , V_r , X , δ\) を用いて表せ。

(2)　複素電力 \(\dot{S}\) が (1) のとき、有効電力 \(P\) と無効電力 \(Q\) の関係を電力円線図として描け。

(3)　無効電力 \(Q\) [var] の大きさを \(P , V_s , V_r , Z , R , X\) を用いて表せ。

解答のポイント

抵抗成分がある場合の複素電力

インピーダンス角を下図のとおり \(φ\) とする

送電線に流れる電流 \(\dot{I}\) は、

　　\(\dot{E_s} = \dot{E_r} + (R + jX)\dot{I}\)

　　\(\dot{Z}\dot{I} = \dot{E_s} − \dot{E_r}\)

　　　\(\dot{I} = \displaystyle\frac{\dot{E_s} − \dot{E_r}}{\dot{Z}}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_se^{jδ} − E_r}{Ze^{jφ}}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s}{Z}e^{j(δ − φ)} − \displaystyle\frac{E_r}{Z}e^{−jφ}\)

負荷一相分の複素電力 \(\dot{S}_{1r}\) は、遅れ無効電力を正とすると、

　　\(\dot{S}_{1r} = \dot{E_r}\overline{\dot{I}}\)

　　　　\(= E_r × \overline{\displaystyle\frac{E_s}{Z}e^{j(δ − φ)} − \displaystyle\frac{E_r}{Z}e^{−jφ}}\)

　　　　\(= E_r × \overline{\displaystyle\frac{E_s}{Z}\{\cos(δ − φ) + j\sin(δ − φ)\} − \displaystyle\frac{E_r}{Z}\{\cos(−φ) + j\sin(−φ)\}}\)

　　　　\(= E_r × \overline{\displaystyle\frac{E_s}{Z}\{\cos(δ − φ) + j\sin(δ − φ)\} − \displaystyle\frac{E_r}{Z}(\cos φ − j\sin φ)}\)

　　　　\(= E_r × \left[\displaystyle\frac{E_s}{Z}\{\cos(δ − φ) − j\sin(δ − φ)\} − \displaystyle\frac{E_r}{Z}(\cos φ + j\sin φ)\right]\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_r}{Z} × \{E_s\cos(δ − φ) − jE_s\sin(δ − φ) − E_r\cos φ − jE_r\sin φ)\}\)

　　　　\(= \color{blue}{\displaystyle\frac{E_sE_r\cos(δ − φ) − {E_r}^2\cos φ}{Z}} − j\color{red}{\displaystyle\frac{E_sE_r\sin(δ − φ) + {E_r}^2\sin φ}{Z}}\)
　　　　　　　　　　　有効電力　　　　　　　　　　　　　　無効電力

抵抗成分がある場合の電力円線図

　　\(P = \displaystyle\frac{V_sV_r\cos(δ − φ) − {V_r}^2\cos φ}{Z}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{V_sV_r\cos(δ − φ) − {V_r}^2\color{red}{\displaystyle\frac{R}{Z}}}{Z}\)

　　\(Q = −\displaystyle\frac{V_sV_r\sin(δ − φ) + {V_r}^2\sin φ}{Z}\)

　　　　\(= −\displaystyle\frac{V_sV_r\sin(δ − φ) + {V_r}^2\color{red}{\displaystyle\frac{X}{Z}}}{Z}\)

上式を \(\sin^2(δ − φ) + \cos^2(δ − φ) =1\) を使用して整理することで電力円線図の式を導出する。

解答

(1)　複素電力 \(\dot{S}\) [V・A] の大きさを \(V_s , V_r , X , δ\) を用いて表せ。

解答のポイントより、負荷一相分の複素電力 \(\dot{S}_{1r}\) は、遅れ無効電力を正とすると、

\(\dot{S}_{1r} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V_s}{\sqrt{3}}\displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}\cos(δ − φ) − {\left(\displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}\right)}^2\cos φ}{Z}\)

\(− j\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V_s}{\sqrt{3}}\displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}\sin(δ − φ) + {\left(\displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}\right)}^2\sin φ}{Z}\)

よって、負荷三相分の複素電力 \(\dot{S}_{3r}\) は、

　　\(\dot{S}_{3r} = 3\dot{S}_{1r}\)

　　　　\(= 3 × \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V_s}{\sqrt{3}}\displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}\cos(δ − φ) − 3 × {\left(\displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}\right)}^2\cos φ}{Z}\)

　　　　　　\(− j\displaystyle\frac{3 × \displaystyle\frac{V_s}{\sqrt{3}}\displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}\sin(δ − φ) + 3 × {\left(\displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}\right)}^2\sin φ}{Z}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{V_sV_r\cos(δ − φ) − {V_r}^2\cos φ}{Z} − j\displaystyle\frac{V_sV_r\sin(δ − φ) + {V_r}^2\sin φ}{Z}\)

(2)　複素電力 \(\dot{S}\) が (1) のとき、有効電力 \(P\) と無効電力 \(Q\) の関係を電力円線図として描け。

三相3線式送電線路において、有効電力及び無効電力は (1) より以下の式で与えられる。

　　\(P = \displaystyle\frac{V_sV_r\cos(δ − φ) − {V_r}^2\cos φ}{Z}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{V_sV_r\cos(δ − φ) − {V_r}^2\displaystyle\frac{R}{Z}}{Z}\)

　　\(Q = −\displaystyle\frac{V_sV_r\sin(δ − φ) + {V_r}^2\sin φ}{Z}\)

　　　　\(= −\displaystyle\frac{V_sV_r\sin(δ − φ) + {V_r}^2\displaystyle\frac{X}{Z}}{Z}\)

\(P = \displaystyle\frac{V_sV_r\cos(δ − φ) − {V_r}^2\displaystyle\frac{R}{Z}}{Z}\) より、

　　　　　　　　\(ZP = V_sV_r\cos(δ − φ) − {V_r}^2\displaystyle\frac{R}{Z}\)

　　\(V_sV_r\cos(δ − φ) = ZP + {V_r}^2\displaystyle\frac{R}{Z}\)

　　　　　　　　　　\(= Z\left(P + \displaystyle\frac{R{V_r}^2}{Z^2}\right)\)

　　　　\(\cos(δ − φ) = \displaystyle\frac{Z}{V_sV_r}\left(P + \displaystyle\frac{R{V_r}^2}{Z^2}\right)\)

\(Q = −\displaystyle\frac{V_sV_r\sin(δ − φ) + {V_r}^2\displaystyle\frac{X}{Z}}{Z}\) より、

　　　　　　　　\(−ZQ = V_sV_r\sin(δ − φ) + {V_r}^2\displaystyle\frac{X}{Z}\)

　　\(V_sV_r\sin(δ − φ) = −ZQ − {V_r}^2\displaystyle\frac{X}{Z}\)

　　　　　　　　　　\(= −Z\left(Q + \displaystyle\frac{X{V_r}^2}{Z^2}\right)\)

　　　　\(\sin(δ − φ) = −\displaystyle\frac{Z}{V_sV_r}\left(Q + \displaystyle\frac{X{V_r}^2}{Z^2}\right)\)

\(\sin^2(δ − φ) + \cos^2(δ − φ) =1\) より、

　　\({\left\{\displaystyle\frac{Z}{V_sV_r}\left(P + \displaystyle\frac{R{V_r}^2}{Z^2}\right)\right\}}^2 + {\left\{−\displaystyle\frac{Z}{V_sV_r}\left(Q + \displaystyle\frac{X{V_r}^2}{Z^2}\right)\right\}}^2 = 1\)

　　\({\left(\displaystyle\frac{Z}{V_sV_r}\right)}^2{\left(P + \displaystyle\frac{R{V_r}^2}{Z^2}\right)}^2 + {\left(\displaystyle\frac{Z}{V_sV_r}\right)}^2{\left(Q + \displaystyle\frac{X{V_r}^2}{Z^2}\right)}^2 =1\)

　　　　　　　　　　　　　\({\left(P + \displaystyle\frac{R{V_r}^2}{Z^2}\right)}^2 + {\left(Q + \displaystyle\frac{X{V_r}^2}{Z^2}\right)}^2 = {\left(\displaystyle\frac{V_sV_r}{Z}\right)}^2\)

\({\left(P + \displaystyle\frac{R{V_r}^2}{Z^2}\right)}^2 + {\left(Q + \displaystyle\frac{X{V_r}^2}{Z^2}\right)}^2 = {\left(\displaystyle\frac{V_sV_r}{Z}\right)}^2\) の電力円線図は下図のとおりとなる。

(3)　無効電力 \(Q\) [var] の大きさを \(P , V_s , V_r , Z , R , X\) を用いて表せ。

\({\left(P + \displaystyle\frac{R{V_r}^2}{Z^2}\right)}^2 + {\left(Q + \displaystyle\frac{X{V_r}^2}{Z^2}\right)}^2 = {\left(\displaystyle\frac{V_sV_r}{Z}\right)}^2\) より、

　　\({\left(Q + \displaystyle\frac{X{V_r}^2}{Z^2}\right)}^2 = {\left(\displaystyle\frac{V_sV_r}{Z}\right)}^2 − {\left(P + \displaystyle\frac{R{V_r}^2}{Z^2}\right)}^2\)

　　\(Q + \displaystyle\frac{X{V_r}^2}{Z^2} = \pm\sqrt{{\left(\displaystyle\frac{V_sV_r}{Z}\right)}^2 − {\left(P + \displaystyle\frac{R{V_r}^2}{Z^2}\right)}^2}\)

　　　　　　　\(Q = −\displaystyle\frac{X{V_r}^2}{Z^2} \pm\sqrt{{\left(\displaystyle\frac{V_sV_r}{Z}\right)}^2 − {\left(P + \displaystyle\frac{R{V_r}^2}{Z^2}\right)}^2}\)