【電験2種過去問解説：電力・管理<R6 問4>】異なる変圧器に接続されている配電線のループ系統に関する計算問題

問題

配電線のループ系統に関して，次の問に答えよ。

異なる配電用変圧器に接続されているこう長 1 km の三相高圧配電線 A と B の末端に開閉器が設置されている。開閉器を投入しループ系統にした場合，下記(1)～(3)の設問に答えよ。

(1)　図1の系統において，開閉器投入後の A 配電線と B 配電線の送り出し電流の大きさを求めよ。
なお，配電用変電所から末端負荷に向かう電流の向きを正とする。
また，配電系統の条件を下記に示す。
・配電用変圧器 (1B，2B) の送り出し電圧は，6 600 V とする。
・配電用変圧器の送り出し電圧は，開閉器投入前後で変化しない。
・配電用変圧器 (1B，2B) のインピーダンスは，無視できる。
・開閉器投入前の A 配電線，B 配電線の送り出しのそれぞれの電圧と電流の位相差は小さく，零としてよい。
・負荷は全てそれぞれの配電線の末端に接続されている。
・負荷電流は，開閉器投入前後で変化しない。
・A 配電線のインピーダンス：\(\dot{Z}_A\) [Ω/km] ，B 配電線のインピーダンス：\(\dot{Z}_B\) [Ω/km] ，\(\dot{Z}_A = \dot{Z}_B = \dot{Z}\) [Ω/km] 

(2)　小問(1)において，図2の系統のように送り出し電圧が異なる場合，開閉器投入後の A 配電線と B 配電線の送り出し電流の大きさを求めよ。
なお，小問(1)からの配電系統の条件の違いを下記に示す。
・配電用変圧器 (1B，2B) の送り出し電圧は， 1B:6 650 V  ，2B:6 600 V とする。
・\(\dot{Z}_A = \dot{Z}_B = \dot{Z} = 0.5+j1.0\) [Ω/km] 

(3)　図3の系統において，開閉器投入後の三相短絡電流を求めよ。なお，短絡箇所は開閉器とする。
また，配電系統の条件を下記に示す。
・配電用変圧器 (1B，2B) の送り出し電圧は，6 600 V とする。
・基準容量：6 600 V ，10 MV⋅A ベース
・背後％インピーダンス（抵抗成分は無視）： %\(Z_G = 1\) % 
・配電用変圧器％インピーダンス（抵抗成分は無視）： \(％Z_{T1} = ％Z_{T2} = ％Z_T = 7.5\) % 
・\(\dot{Z}_A = \dot{Z}_B = \dot{Z} = j0.5\) [Ω/km]（抵抗成分は無視）

解答のポイント

① ループ電流の計算
連系開閉器投入前後の状態は、投入前：図4-1、投入後：図4-2のようになります。

連系開閉器投入前の状態が図4-1の通りであるとすると、連系開閉器投入前の各負荷の電圧 \(\dot{V}_A\) , \(\dot{V}_B\) は、

　　\(\dot{V}_A = \dot{V}_S−\dot{Z}_A\dot{I}_A\)
　　\(\dot{V}_B = \dot{V}_S−\dot{Z}_B\dot{I}_B\)

となり、\(\dot{V}_A\neq\dot{V}_B\) のとき、連系開閉器を投入すると電圧 \(\dot{V}_A\) と \(\dot{V}_B\) が等しくなるようにループ電流が流れます。
このときの電圧を \(\dot{V}\) [V] ，A から B に向かうループ電流が \(\dot{I}_1\) [A] であるとすると、配電系統全体では図4-2に示すように変化し、

　　\(\dot{V}_A = \dot{V}_S−\dot{Z}_A(\dot{I}_A+\dot{I}_1)\)
　　\(\dot{V}_B = \dot{V}_S−\dot{Z}_B(\dot{I}_B−\dot{I}_1)\)

すなわち、

　　\(\dot{V}_S−\dot{Z}_A(\dot{I}_A+\dot{I}_1) = \dot{V}_S−\dot{Z}_B(\dot{I}_B−\dot{I}_1)\)
　　　　　 \(\dot{Z}_A(\dot{I}_A+\dot{I}_1) = \dot{Z}_B(\dot{I}_B−\dot{I}_1)\)

が成立します。

② オーム法から百分率インピーダンス法への変換
基準容量を \(P_n\) [V・A] , 基準電圧を \(V_n\) [V] , 基準電流を \(I_n\) [A] とすると、

　　%\(Z=\displaystyle\frac{ZI_n}{\displaystyle\frac{V_n}{\sqrt{3}}}×100\) [%]　(定義)

　　　　\(=\displaystyle\frac{\sqrt{3}ZI_n}{V_n}×100\) [%]　

　　　　\(=\displaystyle\frac{\sqrt{3}ZV_nI_n}{V_n^2}×100\) [%]　　分母・分子に\(V_n\)をかける

　　　　 \(=\displaystyle\frac{P_nZ}{V_n^2}×100\) [%]　(∵\(P_n=\sqrt{3}V_nI_n)\)　(重要公式)

となります。

③ 百分率インピーダンスの短絡電流計算
百分率インピーダンスを %\(Z\) [%] とすると、三相短絡電流 \(I_s\) [A] は、基準電流 \(I_n\) [A] を用いて、

　　\(I_s = \displaystyle\frac{I_n}{％Z}×100\) [A]

でと求められる。

※上式は百分率インピーダンスの定義式等から求めることができますが、試験時には暗記しておいた方が良いと考えます。

解答

(1)　図1の系統において、開閉器投入後の A 配電線と B 配電線の送り出し電流の大きさ
連系開閉器を投入すると、各負荷の電圧が等しくなるようにループ電流が流れるため、このときの各負荷の電圧(相電圧)を \(\dot{V}\) 、 開閉器投入前の A , B 各配電線の送り出し電流を各々 \(\dot{I}_A\) [A] , \(\dot{I}_B\) [A] 、 A から B に向かうループ電流を \(\dot{I}_1\) [A] とすると、配電用変圧器 (1B，2B) の送り出し電圧は、6 600 [V] とどちらも等しいから、これの相電圧を \(\dot{V}_S\) として、

　　\(\dot{V} = \dot{V}_S−\dot{Z}_A(\dot{I}_A+\dot{I}_1)\)
　　\(\dot{V} = \dot{V}_S−\dot{Z}_B(\dot{I}_B−\dot{I}_1)\)

すなわち、

　　\(\dot{V}_S−\dot{Z}_A(\dot{I}_A+\dot{I}_1) = \dot{V}_S−\dot{Z}_B(\dot{I}_B−\dot{I}_1)\)
　　　　　 \(\dot{Z}_A(\dot{I}_A+\dot{I}_1) = \dot{Z}_B(\dot{I}_B−\dot{I}_1)\)　　　・・・・・①

が成立する。

ここで、問題の条件より \(\dot{Z}_A = \dot{Z}_B = \dot{Z}\) であるから ① より、

　　\(\dot{Z}(\dot{I}_A+\dot{I}_1) = \dot{Z}(\dot{I}_B−\dot{I}_1)\)

　　\(I_1=\displaystyle\frac{I_B−I_A}{2}\)

　　　 \(=\displaystyle\frac{300−500}{2}\)

　　　 \(=-100\) [A]

よって、各配電線の送り出し電流は、
A 配電線：\(I_A+I_1 = 500+(-100) = 400\) [A]
B 配電線：\(I_B−I_1 = 300-(-100) = 400\) [A]

(2)　図2における開閉器投入後の A 配電線と B 配電線の送り出し電流の大きさ
連系開閉器投入後の状態を図2-1に示す。

連系開閉器を投入すると、各負荷の電圧が等しくなるようにループ電流が流れるため、このときの各負荷の相電圧を \(\dot{V’}\) [V] 、 開閉器投入前の A , B 各配電線の送り出し電流を各々 \(\dot{I}_A\) [A] (= \(500\) [A]) , \(\dot{I}_B\) [A] (= \(300\) [A]) 、 A から B に向かうループ電流を \(\dot{I}_1\) [A] とする。
また、配電用変圧器 (1B，2B) の送り出し電圧(相電圧)を配電用変圧器 1B：\(\dot{V}_{S1B}\) [V] , 配電用変圧器 2B：\(\dot{V}_{S2B}\) [V] とすると、

　　\(\dot{V}_{S1B} = \displaystyle\frac{6 650}{\sqrt{3}}\) [V]　　\(\dot{V}_{S2B} = \displaystyle\frac{6 600}{\sqrt{3}}\) [V]

より、以上から、

　　\(\dot{V’} = \dot{V}_{S1B}−\dot{Z}_A(\dot{I}_A+\dot{I}_1) = \displaystyle\frac{6 650}{\sqrt{3}}−\dot{Z}_A(500+\dot{I}_1)\)

　　\(\dot{V’} = \dot{V}_{S2B}−\dot{Z}_B(\dot{I}_B−\dot{I}_1) = \displaystyle\frac{6 600}{\sqrt{3}}−\dot{Z}_B(300−\dot{I}_1)\)

すなわち、

　　\(\displaystyle\frac{6 650}{\sqrt{3}}−\dot{Z}_A(500+\dot{I}_1) = \displaystyle\frac{6 600}{\sqrt{3}}−\dot{Z}_B(300−\dot{I}_1)\)　　　・・・・・②

が成立する。

ここで、問題の条件より \(\dot{Z}_A = \dot{Z}_B = \dot{Z} = 0.5+j1.0\) [Ω/km] であるから ② より、

　　　　　　　　　\(\displaystyle\frac{6 650}{\sqrt{3}}−(0.5+j1.0)(500+\dot{I}_1) = \displaystyle\frac{6 600}{\sqrt{3}}−(0.5+j1.0)(300−\dot{I}_1)\)

\((0.5+j1.0)(500+\dot{I}_1)−(0.5+j1.0)(300−\dot{I}_1) = \displaystyle\frac{6 650}{\sqrt{3}}−\displaystyle\frac{6 600}{\sqrt{3}}\)

　　　　　\((0.5+j1.0)\{(500+\dot{I}_1)−(300−\dot{I}_1)\} = \displaystyle\frac{50}{\sqrt{3}}\)

　　　　　　　　　　　　 \((0.5+j1.0)(200+2\dot{I}_1)　\unicode{x2252}　28.868\)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \(200+2\dot{I}_1 = \displaystyle\frac{28.868}{0.5+j1.0}\)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \(= \displaystyle\frac{28.868}{0.5+j1.0}×\displaystyle\frac{0.5−j1.0}{0.5−j1.0}\)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \(= \displaystyle\frac{14.434−j28.868}{0.25+1.0}\)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \(\unicode{x2252}　11.547−j23.094\)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\(2\dot{I}_1 = −200+(11.547−j23.094)\)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \(\unicode{x2252} −188.45−j23.094\)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \(\dot{I}_1 = −94.225−j11.547\)

となる。よって、各配電線の送り出し電流を各々 \(\dot{I’}_A\) [A] , \(\dot{I’}_B\) [A] とすると、

　　\(\dot{I’}_A=\dot{I}_A+\dot{I}_1\)
　　　　 \(= 500−94.225−j11.547\)
　　　　 \(\unicode{x2252}　405.78−j11.547\)

　　\(\dot{I’}_B=\dot{I}_B+\dot{I}_1\)
　　　　 \(= 300−(−94.225−j11.547)\)
　　　　 \(\unicode{x2252}　394.23+j11.547\)

となるので、その大きさ \(I’_A\) [A] 及び \(I’_B\) [A] は、

　　\(I’_A = \sqrt{405.78^2+11.547^2}\)
　　　 \(\unicode{x2252}　405.94\)　→　\(406\) [A]

　　\(I’_B = \sqrt{394.23^2+11.547^2}\)
　　　 \(\unicode{x2252}　394.40\)　→　\(394\) [A]

と求められる。

(3)　図3の系統における開閉器投入後の三相短絡電流
配電線の百分率インピーダンス \(％Z_A = ％Z_B =％Z\) [%] は、長さが 1 km であるから、

　　\(％Z=\displaystyle\frac{P_nZ}{V_n^2}×100\)

　　　　\(=\displaystyle\frac{10×10^6×0.5}{6 600^2}×100\)

　　　　 \(\unicode{x2252}　11.478\) [%]

となるので、短絡点からみた百分率インピーダンス \(％Z_s\) [%] は、

　　\(％Z_s = ％Z_G + \displaystyle\frac{(％Z_{T1}+％Z_A)(％Z_{T2}+％Z_B)}{(％Z_{T1}+％Z_A)+(％Z_{T2}+％Z_B)}\)

　　　　　\(= ％Z_G + \displaystyle\frac{(％Z_T+％Z)(％Z_T+％Z)}{2(％Z_T+％Z)}\)

　　　　　\(= ％Z_G + \displaystyle\frac{％Z_T+％Z}{2}\)

　　　　　\(= 1 + \displaystyle\frac{7.5+11.478}{2}\)

　　　　　\(=10.489\) [%]

となる。また、基準電流 \(I_n\) [A] は、

　　\(I_n = \displaystyle\frac{P_n}{\sqrt{3}V_n}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{10×10^6}{\sqrt{3}×6 600}\)

　　　　\(\unicode{x2252}　874.77\) [A]

なので、三相短絡電流 \(I_s\) [A] は、

　　\(I_s = \displaystyle\frac{100I_n}{％Z_s}\)

　　　 \(= \displaystyle\frac{100×874.77}{10.489}\)

　　　 \(\unicode{x2252}　8 339.9\)　→　\(8340\) [A]

と求められる。

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