【電験二種重要例題解説：電力・管理】受電端円線図の作図

問題
解答のポイント
解答

問題

下図に示す送電線路について、受電端円線図を描き、図中に中心、半径及び \(δ\) を記載せよ。ただし、送電線の抵抗分は無視できるものとし、\(E_s ＞ E_r\) 及び \(0 ＜ δ ＜ \displaystyle\frac{π}{2}\) とする。

解答のポイント

送電線の電圧と負荷電力

　　\(\dot{E_s} = \dot{E_r} + jX\dot{I}\)

変圧器とほぼ同じベクトル図

送電線に流れる電流 \(\dot{I}\) は、

　　\(\dot{E_s} = \dot{E_r} + jX\dot{I}\)

　\(jX\dot{I} = \dot{E_s} − \dot{E_r}\)

　　　\(\dot{I} = \displaystyle\frac{\dot{E_s} − \dot{E_r}}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s(\cos δ + j\sin δ) − E_r}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r + jE_s\sin δ}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} + \displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} − j\displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{X}\)　　… ①

負荷一相分の複素電力 \(\dot{S}_{1r}\) は、遅れ無効電力を正とすると、

　　\(\dot{S}_{1r} = \dot{E_r}\overline{\dot{I}}\)

　　　　\(= E_r × \overline{\left(\displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} − j\displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{X}\right)}\)

　　　　\(= E_r × \left(\displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} + j\displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{X}\right)\)

　　　　\(= \color{blue}{\displaystyle\frac{E_sE_r\sin δ}{X}} + j\color{red}{\displaystyle\frac{E_sE_r\cos δ − {E_r}^2}{X}}\)
　　　　　　有効電力　　　　　　無効電力

また、送電端電圧 (線間電圧) \(\dot{V_s}\) [V] 、受電端電圧 (線間電圧) \(\dot{V_r}\) [V] とすると、①において、\(E_s = \displaystyle\frac{V_s}{\sqrt{3}}\) [V] 、\(E_r = \displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}\) [V] であるから、

線電流 \(\dot{I}\) [A] は、

　　\(\dot{I} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V_s}{\sqrt{3}}\sin δ}{X} − j\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{V_s}{\sqrt{3}}\cos δ − \displaystyle\frac{V_r}{\sqrt{3}}}{X}\)

　　　\(= \displaystyle\frac{V_s\sin δ}{\sqrt{3}X} − j\displaystyle\frac{V_s\cos δ − V_r}{\sqrt{3}X}\)

よって、負荷三相分の複素電力 \(\dot{S}\) [V・A] は、

　　\(\dot{S} = \sqrt{3}\dot{V_r}\overline{\dot{I}}\)

　　　\(= \sqrt{3}V_r\left(\displaystyle\frac{V_s\sin δ}{\sqrt{3}X} − j\displaystyle\frac{V_s\cos δ + V_r}{\sqrt{3}X}\right)\)

　　　\(= \color{blue}{\displaystyle\frac{V_sV_r\sin δ}{X}} + j\color{red}{\displaystyle\frac{V_sV_r\cos δ − {V_r}^2}{X}}\)

となるので、有効電力 \(P\) [W] 及び無効電力 \(Q\) [var] の大きさは、

　　\(P = \displaystyle\frac{V_sV_r\sin δ}{X}\)

　　\(Q = \displaystyle\frac{V_sV_r\cos δ − {V_r}^2}{X}\)

電力円線図

\(P = \displaystyle\frac{V_sV_r\sin δ}{X}\), \(Q = \displaystyle\frac{V_sV_r\cos δ − {V_r}^2}{X}\), \(\sin^2 δ + \cos^2 δ = 1\) を用いて、円の公式の形に整理する。

　　　\(P = \displaystyle\frac{V_sV_r}{X}\sin δ\)

　　\(\sin δ = \displaystyle\frac{XP}{V_sV_r}\)

　　　\(XQ = V_sV_r\cos δ − {V_r}^2\)

\(V_sV_r\cos δ = XQ + {V_r}^2\)

　　　\(\cos δ = \displaystyle\frac{XQ + {V_r}^2}{V_sV_r}\)

　　　　　　　　　\(\color{blue}{\sin^2 δ} + \color{red}{\cos^2 δ} = 1\)

　　\(\color{blue}{{\left(\displaystyle\frac{XP}{V_sV_r}\right)}^2} + \color{red}{{\left(\displaystyle\frac{XQ + {V_r}^2}{V_sV_r}\right)}^2} = 1\)

　　　　　\((XP)^2 + (XQ + {V_r}^2)^2 = (V_sV_r)^2\)

　　　　　　\(P^2 + {\left(Q + \displaystyle\frac{{V_r}^2}{X}\right)}^2 = {\left(\displaystyle\frac{V_sV_r}{X}\right)}^2\)

したがって、\(\left(0, −\displaystyle\frac{{V_r}^2}{X}\right)\) を中心とする半径 \(\displaystyle\frac{V_sV_r}{X}\) の円となる。

解答

送電線に流れる電流 \(\dot{I}\) は、

　　　\(\dot{I} = \displaystyle\frac{\dot{E_s} − \dot{E_r}}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s(\cos δ + j\sin δ) − E_r}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r + jE_s\sin δ}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} + \displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{jX}\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} − j\displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{X}\)

複素電力 \(P + jQ\) [p.u.] は、

　　\(P +jQ = \dot{E_r}\overline{\dot{I}}\)

　　　　\(= E_r × \overline{\left(\displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} − j\displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{X}\right)}\)

　　　　\(= E_r × \left(\displaystyle\frac{E_s\sin δ}{X} + j\displaystyle\frac{E_s\cos δ − E_r}{X}\right)\)

　　　　\(= \displaystyle\frac{E_sE_r\sin δ}{X} + j\displaystyle\frac{E_sE_r\cos δ − {E_r}^2}{X}\)

よって、

　　\(P = \displaystyle\frac{E_sE_r\sin δ}{X}\)

　　\(Q = \displaystyle\frac{E_sE_r\cos δ − {E_r}^2}{X}\)

各式を \(\sin δ\) 及び \(\cos δ\) について整理すると、

　　　　　　　\(\sin δ = \displaystyle\frac{XP}{E_sE_r}\)

\(E_sE_r\cos δ − {E_r}^2 = XQ\)

　　　　\(E_sE_r\cos δ = XQ + {E_r}^2\)

　　　　　　　\(\cos δ = \displaystyle\frac{XQ + {E_r}^2}{E_sE_r}\)

\(\sin^2 δ + \cos^2 δ = 1\) の関係より、

　　\({\left(\displaystyle\frac{XP}{E_sE_r}\right)}^2 + {\left(\displaystyle\frac{XQ + {E_r}^2}{E_sE_r}\right)}^2 = 1\)

　　\((XP)^2 + (XQ + {E_r}^2)^2 = (E_sE_r)^2\)

　　\(P^2 + {\left(Q + \displaystyle\frac{{E_r}^2}{X}\right)}^2 = {\left(\displaystyle\frac{E_sE_r}{X}\right)}^2\)

したがって、電力円線図は、

中心 \(\left(0, −\displaystyle\frac{{E_r}^2}{X}\right)\)、半径 \(\displaystyle\frac{E_sE_r}{X}\) の円となる。